MATEMATICAS: MULTIPLICACION DE POLINOMIOS SEGUNDO

Introducción
Monomios y polinomios (recordatorio)
Grado de un polinomio (recordatorio)
Método para multiplicar polinomios
Grado del polinomio producto (grado del resultado)
Productos notables: cuadrado de un binomio y suma por diferencia.

1. Introducción

En esta página vamos a ver cómo multiplicar polinomios, por ejemplo, multiplicar los polinomios $3 x + 1$ y $2 - x^{2}$ :

$(3 x + 1) \cdot (2 - x^{2}) =$

$= - 3 x^{3} - x^{2} + 6 x + 2$

Después, hablaremos sobre la relación que hay entre el grado del polinomio del resultado con el grado de los polinomios del producto. También, calcularemos las fórmulas de algunos productos notables, como el cuadrado y el cubo de un binomio. Para terminar, resolveremos 10 problemas de productos de polinomios.

Nota: la parte literal de los monomios con los que trabajaremos tienen sólo potencias de $x$ .

2. Monomios y polinomios

Recordatorio de los conceptos de monomio, binomio, trinomio y polinomio.

Ver texto

Un monomio es el producto de un número real (un número positivo, negativo o cero) por una o varias variables literales.

Un ejemplo de monomio es $- 5 x^{2}$ , que también podemos escribir como $- 5 \cdot x^{2}$ ó $- 5 \cdot x \cdot x$ .

El número del monomio (con signo) se denomina coeficiente del monomio. El resto del monomio (variables literales, es decir, las letras) se denomina parte literal del monomio.

En el monomio $- 5 x^{2}$ , el coeficiente es $- 5$ y la parte literal es $x^{2}$ .

Un monomio puede no tener parte literal. Por ejemplo, el monomio $4$ no tiene parte literal. En este caso, puede considerarse que la parte literal tiene exponente nulo: $4 = 4 x^{0}$ .
Un monomio puede no tener coeficiente, por ejemplo, $x^{2}$ . En realidad, esto ocurre cuando el coeficiente es 1: $x^{2} = 1 \cdot x^{2}$ .

Un binomio es una expresión algebraica constituida por dos monomios. Por ejemplo, $3 x - x^{2}$ .

Un trinomio está constituido por tres monomios. Por ejemplo, $2 x - 3 x^{2} + x^{3}$ .

Un polinomio está constituido por varios monomios. Por ejemplo, $x^{2} - x^{5} - x$ .

Recordad que dos monomios sólo se pueden sumar (o restar) cuando tienen la misma parte literal.

Ejemplos:

Los monomios $3 x$ y $5 x$ se pueden sumar:
$3 x + 5 x = 7 x$
Los monomios $3 x$ y $5 x^{2}$ no se pueden sumar.
Los monomios $2 x$ y $3 y$ no se pueden sumar.

3. Grado de un polinomio

Concepto de grado de un polinomio.

Ver texto

En esta página, la parte literal de los monomios es una potencia de $x$ . Por ejemplo, $3 x$ , $2 x^{2}$ , $4 x^{5}$ ,... En esta situación, se define el grado de un monomio como el exponente de su parte literal.

Ejemplos:

El grado de $3 x^{2}$ es 2.
El grado de $5 x$ es 1.
El grado de $7$ es 0 porque $7 = 7 x^{0}$ .

El grado de un polinomio es al mayor de los grados de los monomios que lo conforman.

Ejemplos:

El grado del binomio $x - 2 x^{3}$ es 3.
El grado del trinomio $x - x^{2} - 5$ es 2.
El grado del polinomio $x^{2} - x - 3 x^{5} + 2$ es 5.

4. Método para multiplicar

El resultado de multiplicar dos polinomios es la suma del producto de todos los monomios del primer polinomio por todos los monomios del segundo polinomio.

Importante: las multiplicaciones incluyen los signos de los monomios.

Recordatorio: al multiplicar dos potencias con la misma base, los exponentes se suman. Por ejemplo,

$x^{3} \cdot x^{2} = x^{3 + 2} = x^{5}$

Ejemplo 1

Multiplicación de polinomios: método, ejemplos y problemas resueltos paso a paso. Monomios, binomios, trinomios y polinomios. Producto de polinomios y productos notables. Secundaria. Álgebra. Expresiones algebraicas.

Vamos a multiplicar el binomio $2 x + 3$ por el monomio $4 x$ . Para ello, multiplicamos $2 x$ por $4 x$ y $3$ por $4 x$ :

El producto $2 x \cdot 4 x$ se simplifica multiplicado sus coeficientes y sumando los exponentes de sus partes literales (1 y 1):

Hacemos lo mismo con el producto $3 \cdot 4 x$ (ahora los exponentes son 0 y 1):

Por tanto, el producto calculado es

Ejemplo 2

Vamos a multiplicar los binomios $x + 2$ y $6 x + 1$ .

Primero, multiplicamos el monomio $x$ del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio ( $+ 2$ ):

Simplificamos el resultado (multiplicando los coeficientes y sumando los exponentes de las partes literales):

Podemos simplificar más:

Por tanto,

Ejemplo 3

Vamos a multiplicar los binomios $2 x + 3$ y $5 x - 2$ . ¡Cuidado con el signo negativo!

Primero, multiplicamos el monomio $2 x$ del primer polinomio por los dos monomios del segundo. Después, hacemos lo mismo con el segundo monomio ( $+ 3$ ):

Simplificamos el resultado:

Podemos simplificar más:

Por tanto,

5. Grado del resultado

El grado del polinomio que se obtiene al multiplicar dos polinomios es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Ver ejemplos

Ejemplos:

El producto de un polinomio de grado 1 y de uno de grado 2 es un polinomio de grado 3. Por ejemplo,
El producto de dos polinomios de grado 2 es un polinomio de grado 4. Por ejemplo,

6. Productos notables

Cuadrado de un binomio (suma):

Cuadrado de un binomio (resta):

Suma por diferencia:

Ver texto y ejemplos

Las fórmulas de los productos notables se obtienen multiplicando los monomios uno a uno. Más información: Productos notables.

Problema 1

Calcular los siguientes productos de monomios:

$2 x \cdot 3 x$
$- 5 \cdot 4 x$
$- 3 \cdot (- 2 x)$
$x^{7} \cdot (- x^{2})$
$- x^{2} \cdot (- x^{3})$

Ver solución

$2 x \cdot 3 x$
Se multiplican los coeficientes (2 y 3) y se suman los exponentes de la $x$ (1 y 1):
Como los dos monomios tienen signo positivo, el resultado es un monomio con signo positivo.
$- 5 \cdot 4 x$
El resultado es un monomio con signo negativo:
$- 3 \cdot (- 2 x)$
Como los dos coeficientes son negativos, el resultado es positivo (regla de los signos):
$x^{7} \cdot (- x^{2})$
Como el coeficiente de monomio de la izquierda es 1 y el de la derecha es -1, el resultado es negativo:
$- x^{2} \cdot (- x^{3})$
El signo del monomio resultante es positivo:

Problema 2

Calcular los siguientes productos de un monomio por un binomio:

$3 x \cdot (1 + x^{2})$
$(2 x - 5) \cdot x^{3}$
$(5 x - 2) \cdot (- x^{2})$
$(2 - 5 x) \cdot (- x^{3})$
$(- 2 x) \cdot (- x^{2} - 1)$

$3 x \cdot (1 + x^{2})$
Multiplicamos el monomio $3 x$ por los dos monomios del otro factor del producto:
$(2 x - 5) \cdot x^{3}$
Multiplicamos los dos monomios del factor de la izquierda por el monomio $x^{3}$ (cuidado con el signo negativo):
$(5 x - 2) \cdot (- x^{2})$
Escribiremos paréntesis porque hay que multiplicar por un monomio negativo:
Nota: el segundo sumando tiene signo positivo como resultado de multiplicar dos números negativos.
$(2 - 5 x) \cdot (- x^{3})$
Procedemos como en el apartado anterior:
$(- 2 x) \cdot (- x^{2} - 1)$
Tenemos que escribir paréntesis porque todos los factores de los productos tienen signo negativo: